轻微肇事逃逸的破案时间主要取决于多个因素，包括事故的具体情况、双方是否能迅速达成赔偿协议、警方的调查效率以及是否有监控录像等线索。以下是一些具体的情况和可能的处理时间：
双方迅速达成赔偿协议
如果事故不是特别严重，且双方能够迅速就赔偿损失达成一致，那么结案时间会相对较快，大概在一两周左右。
案件复杂或赔偿问题未达成一致
如果事故涉及复杂的情况或双方在赔偿问题上无法达成共识，那么案件的处理时间可能会延长，可能需要几个月甚至更长时间。
警方调查效率
公安机关交通管理部门在接到报案后，会进行实地勘探、收集证据和查看监控录像等工作。根据《道路交通事故处理程序规定》，公安机关交通管理部门应当自现场调查之日起十日内制作道路交通事故认定书。如果涉及检验、鉴定等程序，则应在检验报告、鉴定意见确定之日起五日内制作道路交通事故认定书。
监控录像等线索
如果案件有监控录像或其他线索，警方可以在较短时间内锁定嫌疑人并进行调查，从而加快破案速度。例如，在某个案例中，交警部门在48小时内就成功侦破了一起交通肇事逃逸案。
法律程序
根据《道路交通事故处理程序规定》，肇事逃逸案件在查获交通肇事车辆和驾驶人后十日内制作道路交通事故认定书。整个案件的结案时间通常应在三个月内完成。
综合以上因素，轻微肇事逃逸的破案时间可能在几天到几个月不等。如果案件较为简单且双方配合，最快可以在一两周内解决；如果案件复杂或涉及多项调查程序，则可能需要数月时间。警方会根据具体情况制定查缉预案，并尽力在较短时间内破案。
建议：
肇事逃逸后，应尽快与警方取得联系并说明情况，提供尽可能多的线索和信息，以便警方能够迅速展开调查。
如果双方能够协商解决赔偿问题，应尽快达成协议，以免案件拖延过久。