查询登报记录的方法有以下几种：
登陆当地工商网站查看
可以通过访问当地工商局的官方网站，查看是否有发布相关登报信息。
拨打114查号台查询
可以拨打114电话，查询当地晚报社或相关机构的联系方式，然后确认登报事宜。
通过手机app查询
可以使用手机app如“天眼查”等，查询相关企业或个人的登报记录。
登录国家企业信用信息公示系统查询
可以登录国家企业信用信息公示系统（如河南），查询企业是否有相关的登报记录。
登录当地报纸官方网站查询
访问遗失物品所在地主流报纸的官方网站，查看是否有在线查询遗失登报记录的功能。如果有，可以直接在网站上进行查询。
联系报纸客服或编辑部
如果报纸网站没有在线查询功能，可以尝试联系报纸的客服或编辑部，提供遗失物品的名称、遗失日期等信息，询问如何查询遗失登报记录。
前往当地图书馆、档案馆查询
可以前往当地图书馆、档案馆等公共服务机构，查阅相关的报纸档案。
使用第三方小程序查询
可以使用支付宝或微信中的“快办办”小程序，选择遗失登报等内容，选择需求的报社进行登报，然后查询相关信息。
购买登报当天的实体报纸
遗失证明登报后，可以通过购买登报当天的实体报纸来查看相关信息。
前往政府部门或公共服务中心查询
部分政府部门或公共服务中心提供遗失证明查询服务，可以前往现场查询或通过电话、邮件等方式咨询。